回転しながら縮む点列とその極限（B）

(1) $c=\alpha c+1$ より $(1-\alpha)c=1$ である．$\alpha\neq 1$ であるから \[ c=\frac{1}{1-\alpha}=\frac{4}{3-\sqrt{3}i}=\frac{4(3+\sqrt{3}i)}{(3-\sqrt{3}i)(3+\sqrt{3}i)}=\frac{4(3+\sqrt{3}i)}{12}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}i \] (2) $z_{n+1}=\alpha z_n+1$ と $c=\alpha c+1$ の差をとると $z_{n+1}-c=\alpha(z_n-c)$．よって \[ z_n-c=\alpha^n(z_0-c)=-c\alpha^n \quad\text{すなわち}\quad z_n=c(1-\alpha^n) \] (3) $|\alpha|=\dfrac{|1+\sqrt{3}i|}{4}=\dfrac{1}{2}$ であるから，(2) より \[ |z_n-c|=|-c\alpha^n|=|c||\alpha|^n=|c|\left(\frac{1}{2}\right)^n \] $n\to\infty$ のとき $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0$ であるから，2 点 $\mathrm{P}_n$，$c$ の距離は 0 に近づく． したがって，点 $\mathrm{P}_n$ が限りなく近づく点を表す複素数は $1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ である． （$\alpha=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ であるから，$\mathrm{P}_n$ は点 $c$ の周りを $\dfrac{\pi}{3}$ ずつ回転しながら，$c$ までの距離が半分ずつになっていく．）