回転しながら縮む点列とその極限（A）

(1) 数列 $\{z_n\}$ は初項 $z_0=1$，公比 $\dfrac{1+i}{2}$ の等比数列である．また，$\dfrac{1+i}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ であるから \[ z_n=\left(\frac{1+i}{2}\right)^n z_0=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right) \] (2) $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n>0$ であるから，$z_n$ が負の実数となるのは $\cos\dfrac{n\pi}{4}=-1$，すなわち $\dfrac{n\pi}{4}=\pi+2k\pi$（$k$ は整数）のときである．よって $n=8k+4$ であるから，最小の正の整数は $n=4$．$z_4=\dfrac{1}{4}(\cos\pi+i\sin\pi)=-\dfrac{1}{4}$ (3) $z_{n+1}-z_n=\left(\dfrac{1+i}{2}-1\right)z_n=\dfrac{-1+i}{2}z_n$ より \[ \mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}=\left|\frac{-1+i}{2}\right||z_n|=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \] よって $L_n$ は初項 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，公比 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和であるから \[ L_n=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right\}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=(\sqrt{2}+1)\left\{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\right\} \] $0<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1$ より，$n\to\infty$ のとき $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\to 0$ であるから \[ \lim_{n\to\infty}L_n=\sqrt{2}+1 \]