極形式を用いて高次方程式を解く（B）

$w=z^3$ とおくと $w^2+w+1=0$ で，$w=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}=\cos\left(\pm\dfrac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{2}{3}\pi\right)$ $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0$，$0\leqq\theta<2\pi$）とすると，ド・モアブルの定理より $z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)$ (i) $z^3=\cos\dfrac{2}{3}\pi+i\sin\dfrac{2}{3}\pi$ のとき 両辺の絶対値と偏角を比較すると $r^3=1$，$3\theta=\dfrac{2}{3}\pi+2k\pi$（$k$ は整数） $r>0$ より $r=1$，$0\leqq 3\theta<6\pi$ より $k=0,1,2$ で $\theta=\dfrac{2}{9}\pi,\ \dfrac{8}{9}\pi,\ \dfrac{14}{9}\pi$ (ii) $z^3=\cos\dfrac{4}{3}\pi+i\sin\dfrac{4}{3}\pi$ のとき，(i) と同様に両辺の絶対値と偏角を比較すると $r=1$，$3\theta=\dfrac{4}{3}\pi+2k\pi$（$k=0,1,2$）より $\theta=\dfrac{4}{9}\pi,\ \dfrac{10}{9}\pi,\ \dfrac{16}{9}\pi$ よって \[ z=\cos\frac{2k\pi}{9}+i\sin\frac{2k\pi}{9}\quad(k=1,2,4,5,7,8) \] （$z^9=1$ かつ $z^3\neq 1$ を満たす $z$ である．） 虚部が正であるのは偏角が $0<\theta<\pi$ のもので，$\theta=\dfrac{2}{9}\pi,\ \dfrac{4}{9}\pi,\ \dfrac{8}{9}\pi$ の 3 個