極形式を用いて高次方程式を解く（A）

(1) $z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$ であるから，与えられた方程式の解は $z^5=1$ を満たす．また，$z=1$ のとき左辺は $5$ となるから，$z=1$ は解ではない．逆に，$z^5=1$，$z\neq 1$ ならば，$z-1\neq 0$ より $z^4+z^3+z^2+z+1=0$ である．よって，与えられた方程式の解は，$z^5=1$ の解のうち $z=1$ 以外のものである． $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0$，$0\leqq\theta<2\pi$）とすると，$z^5=1$ はド・モアブルの定理より \[ r^5(\cos 5\theta+i\sin 5\theta)=\cos 0+i\sin 0 \] 両辺の絶対値と偏角を比較すると $r^5=1$，$5\theta=2k\pi$（$k$ は整数） $r>0$ より $r=1$，$0\leqq\theta<2\pi$ より $\theta=\dfrac{2k\pi}{5}$（$k=0,1,2,3,4$） このうち $k=0$ のときが $z=1$ であるから，求める解は \[ z=\cos\frac{2k\pi}{5}+i\sin\frac{2k\pi}{5}\quad(k=1,2,3,4) \] (2) $\omega_1$，$\omega_2$，$\omega_3$，$\omega_4$ は 4 次方程式 $z^4+z^3+z^2+z+1=0$ の異なる 4 つの解であるから，因数定理により \[ z^4+z^3+z^2+z+1=(z-\omega_1)(z-\omega_2)(z-\omega_3)(z-\omega_4) \] が成り立つ．$z=2$ を代入して \[ (2-\omega_1)(2-\omega_2)(2-\omega_3)(2-\omega_4)=16+8+4+2+1=31 \]