4点が同じ円周上にある条件（B）

$\alpha=-1$，$\beta=1$，$\gamma=2+i$，$\delta=ki$ とおく．4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ が同一円周上にある（どの 3 点も一直線上にない）ための条件は \[ w=\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\cdot\frac{\beta-\delta}{\gamma-\delta} \] が実数となることである（円周角の定理より，$\angle\mathrm{BAC}$ と $\angle\mathrm{BDC}$ が等しいか，和が $\pi$ になる）． \[ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{3+i}{2},\qquad \frac{\beta-\delta}{\gamma-\delta}=\frac{1-ki}{2+(1-k)i} \] \[ w=\frac{(3+i)(1-ki)}{2\{2+(1-k)i\}}=\frac{(3+k)+(1-3k)i}{2\{2+(1-k)i\}} \] $a$，$b$，$c$，$d$ が実数で $c+di\neq 0$ のとき，$\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ であるから，$\dfrac{a+bi}{c+di}$ が実数となる条件は $bc-ad=0$ である．$w$ の分母の 2 は実数であるから，$a=3+k$，$b=1-3k$，$c=2$，$d=1-k$ として，$w$ が実数となる条件は $2(1-3k)-(3+k)(1-k)=0$，展開して \[ 2-6k-(3-2k-k^2)=0 \quad\text{すなわち}\quad k^2-4k-1=0 \] よって $k=2\pm\sqrt{5}$ （3 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ を通る円は中心 $2i$，半径 $\sqrt{5}$ で，虚軸との交点が $(2\pm\sqrt{5})i$ である．）