4点が同じ円周上にある条件（A）

$\alpha=0$，$\beta=2$，$\gamma=3+i$，$\delta=ki$ とおく．4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ が同一円周上にある（どの 3 点も一直線上にない）ための条件は \[ w=\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\div\frac{\gamma-\delta}{\beta-\delta}=\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\cdot\frac{\beta-\delta}{\gamma-\delta} \] が実数となることである（円周角の定理より，$\angle\mathrm{BAC}$ と $\angle\mathrm{BDC}$ が等しいか，和が $\pi$ になる）． \[ w=\frac{3+i}{2}\cdot\frac{2-ki}{3+(1-k)i}=\frac{(6+k)+(2-3k)i}{2\{3+(1-k)i\}} \] $a$，$b$，$c$，$d$ が実数で $c+di\neq 0$ のとき \[ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} \] であるから，$\dfrac{a+bi}{c+di}$ が実数となる条件は $bc-ad=0$ である．$w$ の分母の 2 は実数であるから，$a=6+k$，$b=2-3k$，$c=3$，$d=1-k$ として，$w$ が実数となる条件は \[ 3(2-3k)-(6+k)(1-k)=0 \quad\text{より}\quad k^2-4k=0 \] $k\neq 0$ より $k=4$ （3 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ を通る円は中心 $1+2i$，半径 $\sqrt{5}$ で，点 $4i$ は確かにこの円上にある．）