z の累乗を頂点とする三角形の形から z を求める（A）

3 点が異なるためには $z\neq 1$，$z^2\neq 1$，$z^2\neq z$，すなわち $z\neq 0,\ \pm 1$ が必要である． $\triangle\mathrm{ABC}$ が正三角形であるための条件は　$\dfrac{z^2-1}{z-1}=\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)$（$\mathrm{AC}$ は $\mathrm{AB}$ を $\pm\dfrac{\pi}{3}$ 回転したもの） $z\neq 1$ より $\dfrac{z^2-1}{z-1}=z+1$ であるから \[ z+1=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2} \quad\text{よって}\quad z=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \] これは $z\neq 0,\ \pm 1$ を満たす． （このとき $z^3=1$ で，3 点 $1$，$z$，$z^2$ は 1 の 3 乗根である．）