虚数解の位置と三角形（B）

$\alpha$，$\beta$ が実数のとき，3 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ はすべて実軸上にあり，三角形はできない．よって虚数解をもつ場合を考えればよく，$a^2-16<0$ で \[ \alpha,\ \beta=\frac{-a\pm\sqrt{16-a^2}\,i}{2} \] $\alpha$，$\beta$ は共役で実軸に関して対称であるから，$\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{2}$ となるのは $\mathrm{OA}$ と実軸のなす角が $\dfrac{\pi}{4}$ のとき，すなわち実部と虚部の絶対値が等しいときである． \[ |a|=\sqrt{16-a^2} \quad\text{より}\quad a^2=8,\ a=\pm 2\sqrt{2} \] これらはいずれも $a^2<16$ を満たす． （$a=2\sqrt{2}$ のとき $\alpha,\beta=-\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i$ で，$\dfrac{\alpha}{\beta}=\pm i$ となり確かに直角である．）