虚数解の位置と三角形（A）

虚数解をもつ条件は $\dfrac{D}{4}=a^2-4<0$，すなわち $-2<a<2$．このとき \[ \alpha,\ \beta=a\pm\sqrt{4-a^2}\,i \] $\alpha$，$\beta$ は互いに共役であるから $|\alpha|=|\beta|$ で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$．よって $\triangle\mathrm{OAB}$ が正三角形となる条件は $\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{3}$ である． $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ は実軸に関して対称であるから，$\mathrm{OA}$ と実軸のなす角は $\dfrac{\pi}{6}$．$a=0$ のときは $\angle\mathrm{AOB}=\pi$ で不適であるから $a\neq 0$ で \[ \frac{\sqrt{4-a^2}}{|a|}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad\text{より}\quad 3(4-a^2)=a^2,\ a^2=3 \] $a=\pm\sqrt{3}$（いずれも $-2<a<2$ を満たす） （$a=\sqrt{3}$ のとき $\alpha,\beta=\sqrt{3}\pm i$，$a=-\sqrt{3}$ のとき $-\sqrt{3}\pm i$）