相似な三角形の頂点を複素数で求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 相似な三角形の頂点を複素数で求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{ADE}$ が，頂点 $\mathrm{A}$ を共有し，この順に対応して同じ向きに相似であるとする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\triangle\mathrm{ABD}$ と $\triangle\mathrm{ACE}$ も同じ向きに相似であることを証明せよ．
\item[(2)] $\mathrm{A}(0)$，$\mathrm{B}(2)$，$\mathrm{C}(1+i)$，$\mathrm{D}(1+2i)$ のとき，点 $\mathrm{E}$ を表す複素数を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 頂点を $\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$，$\mathrm{D}(\delta)$，$\mathrm{E}(\varepsilon)$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}\backsim\triangle\mathrm{ADE}$（同じ向き）より
\[ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{\varepsilon-\alpha}{\delta-\alpha} \]
$\gamma-\alpha\neq 0$ であるから，両辺に $\dfrac{\delta-\alpha}{\gamma-\alpha}$ を掛けると
\[ \frac{\delta-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{\varepsilon-\alpha}{\gamma-\alpha} \]
これは $\mathrm{AD}:\mathrm{AB}=\mathrm{AE}:\mathrm{AC}$ かつ $\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CAE}$（向きも含めて）を表すから，$\triangle\mathrm{ABD}\backsim\triangle\mathrm{ACE}$（同じ向き）である． \hfill 終
(2) $\alpha=0$ であるから，(1) の初めの式より $\dfrac{\gamma}{\beta}=\dfrac{\varepsilon}{\delta}$ である．よって $\varepsilon=\dfrac{\gamma\delta}{\beta}=\dfrac{(1+i)(1+2i)}{2}=\dfrac{-1+3i}{2}$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます