相似な三角形の頂点を複素数で求める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 相似な三角形の頂点を複素数で求める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
3 点 $\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(2)$，$\mathrm{B}(1+i)$ がある．$\triangle\mathrm{OAB}\backsim\triangle\mathrm{OBC}$（頂点はこの順に対応し，向きも同じ）となるような点 $\mathrm{C}$ を表す複素数を求めよ．また，$\triangle\mathrm{OBC}$ の面積は $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積の何倍か．
同じ向きに相似であるから，対応する辺の比と角が等しく
\[ \frac{\gamma-0}{\beta-0}=\frac{\beta-0}{\alpha-0} \quad\text{すなわち}\quad \gamma=\frac{\beta^2}{\alpha}=\frac{(1+i)^2}{2}=\frac{2i}{2}=i \]
よって $\mathrm{C}=i$
相似比は $\left|\dfrac{\beta}{\alpha}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ であるから，面積比は $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$．$\dfrac{1}{2}$ 倍
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます