直線に関して対称な点を複素数で表す（B）

(1) 全体を $-1$ だけ平行移動すると，点 $\mathrm{A}$ は原点に，点 $\mathrm{B}$ は点 $-1+i$ に移り，$\ell$ は原点と点 $-1+i$ を通る直線 $\ell'$ に，点 $z$ は点 $z-1$ に，点 $w$ は点 $w-1$ に移る．点 $w-1$ は，$\ell'$ に関して点 $z-1$ と対称な点である． $\ell'$ と実軸の正の向きのなす角は $\dfrac{3}{4}\pi$ であるから，$\varepsilon=\cos\dfrac{3}{4}\pi+i\sin\dfrac{3}{4}\pi=\dfrac{-1+i}{\sqrt{2}}$ とおく．複素数に $\overline{\varepsilon}=\cos\left(-\dfrac{3}{4}\pi\right)+i\sin\left(-\dfrac{3}{4}\pi\right)$ を掛けることは，その複素数を表す点を原点を中心に $-\dfrac{3}{4}\pi$ だけ回転することである．全体をこの回転で移すと，$\ell'$ は実軸に，点 $z-1$ は点 $\overline{\varepsilon}(z-1)$ に移る．実軸に関する対称移動は共役をとることであるから，その対称点は $\overline{\overline{\varepsilon}(z-1)}=\varepsilon\overline{(z-1)}$ である．これを原点を中心に $\dfrac{3}{4}\pi$ だけ回転して（$\varepsilon$ を掛けて）戻すと，$w-1=\varepsilon^2\overline{(z-1)}$ となる． \[ \varepsilon^2=\frac{(-1+i)^2}{2}=\frac{-2i}{2}=-i \] よって $w-1=-i(\overline{z}-1)$，すなわち \[ w=-i\overline{z}+1+i \] (2) $\overline{z}=2-2i$ より $w=-i(2-2i)+1+i=-2i-2+1+i=-1-i$ （確認：$z$ と $w$ の中点 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i$ は直線 $x+y=1$ 上にあり，$z-w=3+3i$ は $\ell$ の方向 $-1+i$ に垂直である．）