直線に関して対称な点を複素数で表す（A）

(1) $\overline{\varepsilon}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$ であるから，複素数に $\overline{\varepsilon}$ を掛けることは，その複素数を表す点を原点を中心に $-\theta$ だけ回転することであり，$\varepsilon$ を掛けることは $\theta$ だけ回転することである．全体を原点を中心に $-\theta$ だけ回転すると，$\ell$ は実軸に，$z$ は $\overline{\varepsilon}z$ に移る．実軸に関する対称移動は共役をとることであるから，$\overline{\varepsilon}z$ の対称点は $\overline{\overline{\varepsilon}z}=\varepsilon\overline{z}$．これを $\theta$ 回転して戻すと \[ z'=\varepsilon\cdot\varepsilon\overline{z}=\varepsilon^2\overline{z} \] (2) $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ より $\varepsilon^2=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}=i$．$z'=i(3-i)=1+3i$ (3) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ より $\varepsilon^2=\cos\dfrac{2}{3}\pi+i\sin\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ \[ z'=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}(3-i)=\frac{-3+i+3\sqrt{3}i+\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}-3}{2}+\frac{1+3\sqrt{3}}{2}i \]