z と z̄ を用いた直線の式（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: z と z̄ を用いた直線の式（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 方程式 $(2-i)z+(2+i)\overline{z}=10$ が表す図形を，$z=x+yi$ として $x$，$y$ の方程式で表せ．また，原点との距離を求めよ．
\item[(2)] 点 $1+i$ を通り，原点と点 $2+i$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式を，$z$，$\overline{z}$ を用いて表せ．
\end{enumerate}
(1) $z=x+yi$ とすると $\overline{z}=x-yi$ であり
\[ (2-i)(x+yi)=(2x+y)+(2y-x)i,\quad (2+i)(x-yi)=(2x+y)-(2y-x)i \]
であるから，与えられた方程式は
\[ 2(2x+y)=10 \quad\text{すなわち}\quad 2x+y=5 \]
原点との距離は $\dfrac{|-5|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}$
(2) 求める直線上の点 $z$ は，$\dfrac{z-(1+i)}{2+i}$ が純虚数または $0$ となる点である．よって
\[ \frac{z-(1+i)}{2+i}+\overline{\left(\frac{z-(1+i)}{2+i}\right)}=0 \]
両辺に $(2+i)(2-i)=5$ を掛けて
\[ (2-i)\{z-(1+i)\}+(2+i)\{\overline{z}-(1-i)\}=0 \]
$(2-i)(1+i)=3+i$，$(2+i)(1-i)=3-i$ より
\[ (2-i)z+(2+i)\overline{z}=6 \]
（$x$，$y$ で表すと $2x+y=3$）
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