z と z̄ を用いた直線の式（A）

(1) 点 $z$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にあるのは，$z=\alpha$ または $\dfrac{z-\alpha}{\beta-\alpha}$ が実数のときであり，これは \[ \frac{z-\alpha}{\beta-\alpha}=\overline{\left(\frac{z-\alpha}{\beta-\alpha}\right)}=\frac{\overline{z}-\overline{\alpha}}{\overline{\beta}-\overline{\alpha}} \] と同値である． 分母を払うと $(\overline{\beta}-\overline{\alpha})(z-\alpha)=(\beta-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})$（$z=\alpha$ のときも成り立つ）． \hfill 終 (2) $\alpha=1$，$\beta=i$ とすると $\beta-\alpha=-1+i$，$\overline{\beta}-\overline{\alpha}=-1-i$ \[ (-1-i)(z-1)=(-1+i)(\overline{z}-1) \] 整理すると $(1+i)z+(-1+i)\overline{z}=2i$ $z=x+yi$ を代入すると $(1+i)(x+yi)+(-1+i)(x-yi)=(x-y+xi+yi)+(-x+y+xi+yi)=2(x+y)i$．よって $2(x+y)i=2i$，すなわち $x+y=1$