複素数で内心を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 複素数で内心を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
3 点 $\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(3)$，$\mathrm{B}(4i)$ を頂点とする $\triangle\mathrm{OAB}$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\angle\mathrm{AOB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ の交点 $\mathrm{D}$ を表す複素数を求めよ．
\item[(2)] $\triangle\mathrm{OAB}$ の内心 $\mathrm{I}$ を表す複素数を求めよ．
\end{enumerate}
$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=5$ である．
(1) 角の二等分線の性質より $\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=3:4$．よって
\[ \mathrm{D}=\frac{4\cdot 3+3\cdot 4i}{7}=\frac{12+12i}{7} \]
(2) $\mathrm{AD}=5\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{7}$．$\mathrm{AI}$ は $\angle\mathrm{OAD}$ の二等分線であるから $\mathrm{OI}:\mathrm{ID}=\mathrm{AO}:\mathrm{AD}=3:\dfrac{15}{7}=7:5$．よって
\[ \mathrm{I}=\frac{7}{12}\cdot\frac{12+12i}{7}=1+i \]
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