複素数で内心を求める（A）

3 辺の長さは $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=4\sqrt{2}$ である． 一般に，3 点 $\mathrm{P}(\alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta)$，$\mathrm{R}(\gamma)$ を頂点とする三角形の内心は，$p=\mathrm{QR}$，$q=\mathrm{RP}$，$r=\mathrm{PQ}$ とするとき $\dfrac{p\alpha+q\beta+r\gamma}{p+q+r}$ で表される（角の二等分線と対辺の比の性質から導かれる）．$\triangle\mathrm{OAB}$ で，頂点 O，A，B と向かい合う辺はそれぞれ AB，OB，OA であるから \[ \mathrm{I}=\frac{\mathrm{AB}\cdot 0+\mathrm{OB}\cdot 4+\mathrm{OA}\cdot 4i}{\mathrm{AB}+\mathrm{OB}+\mathrm{OA}}=\frac{16+16i}{8+4\sqrt{2}}=\frac{4(1+i)}{2+\sqrt{2}}=(4-2\sqrt{2})(1+i) \] 内接円は実軸・虚軸に接するから，半径は $\mathrm{I}$ の実部に等しく $4-2\sqrt{2}$ （直角三角形の内接円の半径の公式 $\dfrac{4+4-4\sqrt{2}}{2}=4-2\sqrt{2}$ とも一致する．）