複素数で外心を求める（B）

$\alpha=1+i$，$\beta=5+i$，$\gamma=3+5i$ とし，外心を $\mathrm{P}(z)$ とする．$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$ より $|z-\alpha|^2=|z-\beta|^2$ であるから \[ z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}+|\alpha|^2=z\overline{z}-\overline{\beta}z-\beta\overline{z}+|\beta|^2 \] すなわち $(\overline{\beta}-\overline{\alpha})z+(\beta-\alpha)\overline{z}=|\beta|^2-|\alpha|^2$．$\beta-\alpha=4$，$|\beta|^2-|\alpha|^2=26-2=24$ より \[ 4z+4\overline{z}=24 \quad\text{すなわち}\quad z+\overline{z}=6 \quad\cdots\text{①} \] 同様に $|z-\alpha|^2=|z-\gamma|^2$ から，$\gamma-\alpha=2+4i$，$|\gamma|^2-|\alpha|^2=34-2=32$ より \[ (2-4i)z+(2+4i)\overline{z}=32 \quad\cdots\text{②} \] $z=x+yi$ とすると，① より $x=3$，② より $2(2x+4y)=32$ すなわち $x+2y=8$．よって $y=\dfrac{5}{2}$ 外心は $3+\dfrac{5}{2}i$（半径は $\sqrt{2^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{5}{2}$）