垂直条件から三角形の垂心を求める（B）

$\mathrm{H}(z)$ とする． $\mathrm{BH}\perp\mathrm{OA}$ より，$\dfrac{z-(1+3i)}{4}$ が純虚数または $0$．よって $z$ の実部は $1$ で，$z=1+yi$ とおける． $\mathrm{OH}\perp\mathrm{AB}$ より，$\dfrac{z}{(1+3i)-4}=\dfrac{1+yi}{-3+3i}$ が純虚数または $0$． \[ \frac{1+yi}{-3+3i}=\frac{(1+yi)(-3-3i)}{18}=\frac{(-3+3y)+(-3-3y)i}{18} \] 実部が $0$ より $y=1$ よって $\mathrm{H}=1+i$ （確認：$\dfrac{z-4}{1+3i}=\dfrac{-3+i}{1+3i}=\dfrac{(-3+i)(1-3i)}{10}=\dfrac{10i}{10}=i$ で純虚数となり，$\mathrm{AH}\perp\mathrm{OB}$ も成り立つ．）