垂直条件から三角形の垂心を求める（A）

外接円の半径を $r$ とすると $|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=r$ であり，$\alpha\overline{\alpha}=\beta\overline{\beta}=\gamma\overline{\gamma}=r^2$． $\mathrm{AH}\perp\mathrm{BC}$ を示す．$h-\alpha=\beta+\gamma$ であり \[ w=\frac{h-\alpha}{\gamma-\beta}=\frac{\gamma+\beta}{\gamma-\beta} \] とおく．$\overline{\beta}=\dfrac{r^2}{\beta}$，$\overline{\gamma}=\dfrac{r^2}{\gamma}$ より \[ \overline{w}=\frac{\frac{r^2}{\gamma}+\frac{r^2}{\beta}}{\frac{r^2}{\gamma}-\frac{r^2}{\beta}}=\frac{\beta+\gamma}{\beta-\gamma}=-w \] $\mathrm{H}\neq\mathrm{A}$ より $w\neq 0$ であるから，$w$ は純虚数で，$\mathrm{AH}\perp\mathrm{BC}$ である． $\mathrm{AH}\perp\mathrm{BC}$ と同様にして，$\dfrac{h-\beta}{\alpha-\gamma}=\dfrac{\alpha+\gamma}{\alpha-\gamma}$ が純虚数となるから $\mathrm{BH}\perp\mathrm{CA}$ である．よって，$\mathrm{H}$ は 2 本の垂線の交点，すなわち垂心である． \hfill 終