回転を用いて図形の性質を証明する（B）

$\triangle\mathrm{ABC}$ が正三角形であることは，$\mathrm{AC}=\mathrm{AB}$ かつ $\angle\mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$（向きはどちらでもよい），すなわち \[ t=\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2} \] と同値である．$\dfrac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$ は 2 次方程式 $t^2-t+1=0$ の 2 解であるから，条件は $t^2-t+1=0$ 両辺に $(\beta-\alpha)^2\ (\neq 0)$ を掛けて \[ (\gamma-\alpha)^2-(\gamma-\alpha)(\beta-\alpha)+(\beta-\alpha)^2=0 \] 左辺を展開すると \[ \gamma^2-2\alpha\gamma+\alpha^2-(\beta\gamma-\alpha\gamma-\alpha\beta+\alpha^2)+\beta^2-2\alpha\beta+\alpha^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha \] よって，$\triangle\mathrm{ABC}$ が正三角形であるための必要十分条件は　$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ \hfill 終