回転を用いて図形の性質を証明する（A）

$\mathrm{A}$ を原点とし，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ が反時計回りであるから，三角形の外側は，辺 $\mathrm{AB}$ については $\mathrm{A}\to\mathrm{B}$ の向きの右側，辺 $\mathrm{AC}$ については $\mathrm{A}\to\mathrm{C}$ の向きの左側である．よって \[ \mathrm{E}:\ \varepsilon=-i\beta\ (\mathrm{B}\ \text{を}\ \mathrm{A}\ \text{の周りに}\ -\tfrac{\pi}{2}\ \text{回転}),\qquad \mathrm{G}:\ g=i\gamma\ (\mathrm{C}\ \text{を}\ +\tfrac{\pi}{2}\ \text{回転}) \] したがって \[ \overrightarrow{\mathrm{BG}}:\ i\gamma-\beta,\qquad \overrightarrow{\mathrm{CE}}:\ -i\beta-\gamma=i(i\gamma-\beta) \] $\mathrm{B}$，$\mathrm{G}$ は直線 $\mathrm{AC}$ に関して反対側にあるから，$i\gamma-\beta\neq 0$ である．0 でない複素数 $i\gamma-\beta$ に $i=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}$ を掛けることは，点 $i\gamma-\beta$ を原点を中心に $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転することであるから，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{BG}}$ を $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転したものである．よって $\mathrm{BG}=\mathrm{CE}$ かつ $\mathrm{BG}\perp\mathrm{CE}$ \hfill 終