複素数の関係式から三角形の形を決める（B）

$\beta\neq 0$ であるから，両辺を $\beta^2$ で割ると $2\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^2-2\cdot\dfrac{\alpha}{\beta}+1=0$．よって \[ \frac{\alpha}{\beta}=\frac{1\pm i}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\cos\left(\pm\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{4}\right)\right\} \] したがって $\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:\sqrt{2}$，$\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{4}$ である． $\mathrm{OA}=k$，$\mathrm{OB}=\sqrt{2}k$ とすると，余弦定理より \[ \mathrm{AB}^2=k^2+2k^2-2\cdot k\cdot\sqrt{2}k\cos\frac{\pi}{4}=k^2 \] よって $\mathrm{AB}=\mathrm{OA}$，さらに $\mathrm{OA}^2+\mathrm{AB}^2=\mathrm{OB}^2$ であるから，$\triangle\mathrm{OAB}$ は $\angle\mathrm{A}=\dfrac{\pi}{2}$ の直角二等辺三角形である． （$\dfrac{\beta-\alpha}{0-\alpha}=1-\dfrac{\beta}{\alpha}=1-(1\mp i)=\pm i$ からも，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}$，$\angle\mathrm{OAB}=\dfrac{\pi}{2}$ がわかる．）