複素数の関係式から三角形の形を決める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 複素数の関係式から三角形の形を決める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
複素数平面上の 3 点 $\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$ が，$\alpha\neq 0$，$\beta\neq 0$，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=0$ を満たすとき，$\triangle\mathrm{OAB}$ はどのような三角形か．
$\beta\neq 0$ であるから，両辺を $\beta^2$ で割って
\[ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2-\frac{\alpha}{\beta}+1=0 \quad\text{より}\quad \frac{\alpha}{\beta}=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}=\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) \]
（複号同順）．よって
\[ \left|\frac{\alpha}{\beta}\right|=1\ \text{より}\ \mathrm{OA}=\mathrm{OB},\qquad \arg\frac{\alpha}{\beta}=\pm\frac{\pi}{3}\ \text{より}\ \angle\mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3} \]
したがって $\triangle\mathrm{OAB}$ は正三角形である．
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