偏角を使って平行・垂直を判定する（B）

$\alpha=2+i$，$\beta=x+3i$ とすると \[ \frac{\beta}{\alpha}=\frac{x+3i}{2+i}=\frac{(x+3i)(2-i)}{5}=\frac{2x+3}{5}+\frac{6-x}{5}i \] (1) $\mathrm{OA}\perp\mathrm{OB}$ となるのは，$\dfrac{\beta}{\alpha}$ が純虚数のときである．その条件は $2x+3=0$ かつ $6-x\neq 0$．$x=-\dfrac{3}{2}$ (2) 3 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ が一直線上にあるのは，$\dfrac{\beta}{\alpha}$ が実数のときである．その条件は $6-x=0$．$x=6$ (3) $\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{4}$ となるのは，$\dfrac{\beta}{\alpha}$ の偏角が $\dfrac{\pi}{4}$ のときである．その条件は，実部と虚部が等しく正であること．$2x+3=6-x$ より $x=1$（このとき実部・虚部はともに $1>0$）