偏角を使って平行・垂直を判定する（A）

$\alpha=1+i$，$\beta=3+2i$，$\gamma=2+4i$，$\delta=a+3i$ とすると $\beta-\alpha=2+i$ である． (1) $\gamma-\alpha=1+3i$ であるから \[ \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{1+3i}{2+i}=\frac{(1+3i)(2-i)}{5}=\frac{5+5i}{5}=1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \] よって $\angle\mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$ (2) $\delta-\alpha=(a-1)+2i$ であるから \[ \frac{\delta-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{\{(a-1)+2i\}(2-i)}{5}=\frac{2a}{5}+\frac{5-a}{5}i \] 3 点が一直線上にあるのはこれが実数のときで，$5-a=0$ より $a=5$ $\mathrm{AB}\perp\mathrm{AD}$ となるのはこれが純虚数のときで，$2a=0$ かつ $5-a\neq 0$ より $a=0$