2つの点の和 z+w が動く範囲（A）

$w=3+v$ とおくと $|v|=1$ で，$z+w=3+z+v$ である． $|z|=|v|=1$ のとき，$|z+v|\leqq|z|+|v|=2$ である．逆に，$|u|\leqq 2$ を満たす任意の複素数 $u$ は，$|z|=|v|=1$ を満たす $z$，$v$ を用いて $u=z+v$ と表せる．実際，$u=0$ のときは $z=1$，$v=-1$ とすればよい．$u\neq 0$ のときは，$u=|u|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ と表し，$\cos\varphi=\dfrac{|u|}{2}$，$0\leqq\varphi<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす $\varphi$ をとって \[ z=\cos(\alpha+\varphi)+i\sin(\alpha+\varphi),\quad v=\cos(\alpha-\varphi)+i\sin(\alpha-\varphi) \] とすると，$|z|=|v|=1$ で，加法定理により \[ z+v=2\cos\alpha\cos\varphi+2i\sin\alpha\cos\varphi=|u|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=u \] よって $z+v$ の存在範囲は $|u|\leqq 2$ であり，$z+w$ の存在範囲は \[ |(z+w)-3|\leqq 2 \] 点 $3$ を中心とする半径 $2$ の円の周および内部で，面積は $4\pi$