2つの不等式を満たす点 z の範囲（B）

$|z-1|\leqq 1$ は点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円の周および内部，$\dfrac{\pi}{6}\leqq\arg z\leqq\dfrac{\pi}{3}$ は原点から出る 2 本の半直線ではさまれた部分（境界を含み，原点を除く）である． 円 $|z-1|=1$ と半直線 $\arg z=\theta$ の原点以外の交点を $\mathrm{R}$ とすると，円周角の定理（直径 $0$–$2$ に対する円周角は直角）より $\mathrm{OR}=2\cos\theta$ である．よって \[ \mathrm{P}:\ \theta=\frac{\pi}{6}\ \text{の交点}\ \sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \] \[ \mathrm{Q}:\ \theta=\frac{\pi}{3}\ \text{の交点}\ \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \] 求める範囲は $\triangle\mathrm{OPQ}$ と，弦 $\mathrm{PQ}$ と弧 $\mathrm{PQ}$ で囲まれた部分を合わせた図形である． $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ の虚部はともに $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，辺 $\mathrm{PQ}$ は実軸に平行で $\mathrm{PQ}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$，$\triangle\mathrm{OPQ}$ の高さは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である．また，中心 $\mathrm{C}(1)$ に対して $\triangle\mathrm{CPQ}$ は正三角形であるから $\angle\mathrm{PCQ}=\dfrac{\pi}{3}$．よって \[ (\text{弓形}) =\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4},\qquad \triangle\mathrm{OPQ}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} \] よって，求める面積は \[ \left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\pi}{6} \]