w=z+a/z による図形の移り先（B）

(1) $z=2(\cos\theta+i\sin\theta)$（$0\leqq\theta<2\pi$）とすると $\dfrac{4}{z}=2(\cos\theta-i\sin\theta)$ であるから $w=4\cos\theta$ $\theta$ が $0\leqq\theta<2\pi$ を動くと $4\cos\theta$ は $-4$ から $4$ までのすべての値をとる．よって点 $w$ は実軸上の 2 点 $-4$，$4$ を結ぶ線分を描く． (2) $z=r\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$（$r>0$）とすると $\dfrac{4}{z}=\dfrac{4}{r}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ であるから \[ u=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(r+\frac{4}{r}\right),\qquad v=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(r-\frac{4}{r}\right) \] よって \[ u^2-v^2=\frac{1}{2}\left\{\left(r+\frac{4}{r}\right)^2-\left(r-\frac{4}{r}\right)^2\right\}=\frac{1}{2}\cdot 16=8 \] また，$r>0$，$\dfrac{4}{r}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より \[ u\geqq\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2\sqrt{r\cdot\frac{4}{r}}=2\sqrt{2}>0 \] よって，点 $w$ は双曲線 $u^2-v^2=8$ の $u>0$ の部分にある． 逆に，任意の実数 $k$ に対して $v=k$ とすると $r^2-\sqrt{2}kr-4=0$ となり，この 2 次方程式は 2 つの解の積が $-4<0$ であるから，正の解をちょうど 1 つもつ．よって，$v$ はすべての実数値をとる．双曲線 $u^2-v^2=8$ の $u>0$ の部分の点は $v$ の値で 1 つに決まるから，点 $w$ はこの部分全体を動く． したがって，点 $w$ は双曲線 $u^2-v^2=8$ の $u>0$ の部分を描く．