w=z+a/z による図形の移り先（A）

(1) $z=\cos\theta+i\sin\theta$（$0\leqq\theta<2\pi$）とすると $\dfrac{1}{z}=\cos\theta-i\sin\theta$ であるから \[ w=2\cos\theta \] $\theta$ が $0\leqq\theta<2\pi$ を動くと $2\cos\theta$ は $-2$ から $2$ までのすべての値をとる．よって点 $w$ は実軸上の 2 点 $-2$，$2$ を結ぶ線分を描く． (2) $z=2(\cos\theta+i\sin\theta)$（$0\leqq\theta<2\pi$）とすると $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}(\cos\theta-i\sin\theta)$ であるから \[ w=\frac{5}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}i\sin\theta \] よって $u=\dfrac{5}{2}\cos\theta$，$v=\dfrac{3}{2}\sin\theta$ で，$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ より \[ \frac{u^2}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}+\frac{v^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}=1 \quad\text{すなわち}\quad \frac{4u^2}{25}+\frac{4v^2}{9}=1 \] 点 $w$ はこの楕円を描く．