w=αz+β による円の移り先（B）

$1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ であるから，0 でない複素数 $z$ に $1+\sqrt{3}i$ を掛けることは，点 $z$ を原点を中心に $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転し，原点からの距離を 2 倍することである． (1) $z=\dfrac{w}{1+\sqrt{3}i}=\dfrac{(1-\sqrt{3}i)w}{4}$．$w=u+vi$ を代入すると \[ z=\frac{(1-\sqrt{3}i)(u+vi)}{4}=\frac{u+\sqrt{3}v}{4}+\frac{v-\sqrt{3}u}{4}i \] 実部が $1$ であるから $u+\sqrt{3}v=4$．点 $w$ は直線 $u+\sqrt{3}v=4$ を描く． （直線 $x=1$ を $\dfrac{\pi}{3}$ 回転し 2 倍に拡大した直線で，原点からの距離は $2$ になる．） (2) $z=\dfrac{w}{1+\sqrt{3}i}$ を代入して \[ \left|\frac{w}{1+\sqrt{3}i}-1\right|=1 \quad\text{より}\quad |w-(1+\sqrt{3}i)|=|1+\sqrt{3}i|=2 \] よって，点 $w$ は点 $1+\sqrt{3}i$ を中心とする半径 $2$ の円を描く．