w=αz+β による円の移り先（A）

(1) $w=(1+i)z+2$ より $z=\dfrac{w-2}{1+i}$ これを $|z|=1$ に代入すると \[ \left|\frac{w-2}{1+i}\right|=1 \quad\text{より}\quad |w-2|=|1+i|=\sqrt{2} \] よって点 $w$ は点 $2$ を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円を描く． （$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ であるから，この円は，円 $|z|=1$ を原点を中心に $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転し，原点からの距離を $\sqrt{2}$ 倍してから，実軸方向に $2$ だけ平行移動した円である．） (2) $z=\dfrac{w+1}{2i}$ を $|z-1|=1$ に代入すると \[ \left|\frac{w+1}{2i}-1\right|=1 \quad\text{より}\quad \frac{|w+1-2i|}{|2i|}=1,\quad |w-(-1+2i)|=2 \] よって点 $w$ は点 $-1+2i$ を中心とする半径 $2$ の円を描く．