円周上を動く点 z に関する最大・最小（B）

点 $z$ は点 $2$ を中心とする半径 $1$ の円周上にある． (1) $|z+2i|$ は点 $z$ と点 $-2i$ の距離である．中心 $2$ と点 $-2i$ の距離は $|2+2i|=2\sqrt{2}$ で，$2\sqrt{2}>1$ より点 $-2i$ は円の外部にある．よって，$|z+2i|$ は，点 $z$ が 2 点 $-2i$，$2$ を通る直線と円との交点にあるときに最大・最小となるから \[ \text{最大値}\ 2\sqrt{2}+1,\qquad \text{最小値}\ 2\sqrt{2}-1 \] (2) 中心を $\mathrm{C}(2)$ とする．$\mathrm{OC}=2>1$ であるから，原点 $\mathrm{O}$ は円の外部にあり，円周上の点 $z$ は $0$ でない． 原点から円に引いた 2 本の接線の接点を $\mathrm{T}$，$\mathrm{T'}$（$\mathrm{T}$ は実軸の上側）とすると，下の図から，$z$ の偏角 $\theta$ が最大・最小となるのは，点 $z$ が $\mathrm{T}$，$\mathrm{T'}$ に一致するときである． $\varphi=\angle\mathrm{COT}$ とすると，接線は接点を通る半径に垂直であるから $\angle\mathrm{OTC}=\dfrac{\pi}{2}$ で，$\mathrm{OC}=2$，$\mathrm{CT}=1$ より $\sin\varphi=\dfrac{1}{2}$ $0<\varphi<\dfrac{\pi}{2}$ であるから $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$ 円は実軸に関して対称であるから，求める $\theta$ の範囲は $-\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{6}$