円周上を動く点 z に関する最大・最小（A）

点 $z$ は点 $\mathrm{C}(3+4i)$ を中心とする半径 $2$ の円周上にある．$|z|$ は原点 $\mathrm{O}$ と点 $z$ の距離で，$\mathrm{OC}=5$ である． $\mathrm{OC}>2$ であるから，原点 $\mathrm{O}$ は円の外部にある．よって，下の図から，$|z|$ が最大となるのは，点 $z$ が直線 $\mathrm{OC}$ と円の交点のうち $\mathrm{O}$ から遠い方にあるときで，最大値は $5+2=7$．このとき，点 $z$ は半直線 $\mathrm{OC}$ 上の $\mathrm{O}$ からの距離が $7$ の点であり，$|3+4i|=5$ であるから \[ z=\frac{7}{5}(3+4i)=\frac{21}{5}+\frac{28}{5}i \] 最小となるのは $\mathrm{O}$ に近い方の交点のときで，最小値は $5-2=3$．このとき，点 $z$ は半直線 $\mathrm{OC}$ 上の $\mathrm{O}$ からの距離が $3$ の点であるから \[ z=\frac{3}{5}(3+4i)=\frac{9}{5}+\frac{12}{5}i \] したがって，$|z|$ は $z=\dfrac{21}{5}+\dfrac{28}{5}i$ のとき最大値 $7$，$z=\dfrac{9}{5}+\dfrac{12}{5}i$ のとき最小値 $3$ をとる．