|z−α|=k|z−β| が表す円（A）

両辺を 2 乗して $|z-3i|^2=4|z|^2$． \[ (z-3i)(\overline{z}+3i)=4z\overline{z} \] 展開して $z\overline{z}+3iz-3i\overline{z}+9=4z\overline{z}$，整理すると \[ z\overline{z}-iz+i\overline{z}-3=0 \] $(z+i)(\overline{z}-i)=z\overline{z}-iz+i\overline{z}+1$ であるから \[ (z+i)(\overline{z}-i)=4 \quad\text{すなわち}\quad |z+i|^2=4 \] よって $|z+i|=2$．点 $-i$ を中心とする半径 $2$ の円である． （点 $z$ から 2 点 $0$，$3i$ までの距離の比が $1:2$ であるから，これはアポロニウスの円であり，2 点 $0$，$3i$ を結ぶ線分を $1:2$ に内分する点 $i$ と外分する点 $-3i$ を直径の両端とする円になっている．）