|z−α|=r, |z−α|=|z−β| が表す図形（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: |z−α|=r, |z−α|=|z−β| が表す図形（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の方程式を満たす点 $z$ 全体はどのような図形か．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $|z+1-i|=2$
\item[(2)] $|z-3|=|z-i|$
\item[(3)] $z\overline{z}=4$
\item[(4)] $z\overline{z}-(1+i)\overline{z}-(1-i)z=2$
\end{enumerate}
(1) $|z-(-1+i)|=2$ より，点 $-1+i$ を中心とする半径 $2$ の円
(2) 2 点 $3$，$i$ から等距離にある点全体であるから，2 点 $3$，$i$ を結ぶ線分の垂直二等分線（$z=x+yi$ とすると $(x-3)^2+y^2=x^2+(y-1)^2$ より直線 $y=3x-4$）
(3) $|z|^2=4$ より $|z|=2$．原点を中心とする半径 $2$ の円
(4) $\alpha=1+i$ とすると $\overline{\alpha}=1-i$ で，
\[ |z-\alpha|^2=(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})=z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}+|\alpha|^2 \]
であるから，与式は $|z-\alpha|^2-2=2$，すなわち $|z-(1+i)|=2$．点 $1+i$ を中心とする半径 $2$ の円
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