累乗が1になる最小の n（B）

(1) $\alpha=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}$，$\beta=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ $\beta\neq 0$ であるから，等式は $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^n=1$ と同値．$\dfrac{\alpha}{\beta}=\cos\dfrac{7}{12}\pi+i\sin\dfrac{7}{12}\pi$ より \[ \frac{7n}{12}\pi=2k\pi \quad\text{すなわち}\quad 7n=24k \] 7 と 24 は互いに素であるから，$n$ は 24 の倍数．最小の正の整数は $n=24$ (2) $-1+i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3}{4}\pi+i\sin\dfrac{3}{4}\pi\right)$ より \[ (-1+i)^n=(\sqrt{2})^n\left(\cos\frac{3n}{4}\pi+i\sin\frac{3n}{4}\pi\right) \] 実数となるのは $\sin\dfrac{3n}{4}\pi=0$，すなわち $\dfrac{3n}{4}$ が整数のときである．最小の正の整数は $n=4$ で，そのとき $(\sqrt{2})^4(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)=-4$