累乗が1になる最小の n（A）

(1) $\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$ であるから，与式は $\cos\dfrac{n\pi}{3}+i\sin\dfrac{n\pi}{3}=1$ これは $\dfrac{n\pi}{3}=2k\pi$（$k$ は整数），すなわち $n=6k$ のとき成り立つ．最小の正の整数は $n=6$ (2) $\sqrt{3}+i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$，$1-i=\sqrt{2}\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$ より \[ w=\sqrt{2}\left(\cos\frac{5}{12}\pi+i\sin\frac{5}{12}\pi\right),\qquad w^n=(\sqrt{2})^n\left(\cos\frac{5n}{12}\pi+i\sin\frac{5n}{12}\pi\right) \] $w^n$ が正の実数となるのは $\dfrac{5n}{12}\pi=2k\pi$（$k$ は整数），すなわち $5n=24k$ のときである．5 と 24 は互いに素であるから $n$ は 24 の倍数で，最小の正の整数は $n=24$