1の累乗根の性質と式の値（B）

ド・モアブルの定理より $\omega^7=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$ であるから \[ 0=\omega^7-1=(\omega-1)(\omega^6+\omega^5+\cdots+\omega+1) \] $\omega\neq 1$ であるから $\omega^6+\omega^5+\cdots+\omega+1=0$ である． (1) $\alpha+\beta=\omega+\omega^2+\cdots+\omega^6=-1$ $\alpha\beta=(\omega+\omega^2+\omega^4)(\omega^3+\omega^5+\omega^6)=\omega^4+\omega^6+\omega^7+\omega^5+\omega^7+\omega^8+\omega^7+\omega^9+\omega^{10}$ $\omega^7=1$ より $\omega^8=\omega$，$\omega^9=\omega^2$，$\omega^{10}=\omega^3$ であるから \[ \alpha\beta=3+(\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)=3-1=2 \] (2) (1) より $\alpha$，$\beta$ は 2 次方程式 $t^2+t+2=0$ の 2 つの解であり，$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{7}i}{2}$ $\alpha$ の虚部は \[ \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}=\sin\frac{2\pi}{7}+\left(\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}\right)>0 \] （$\sin\dfrac{8\pi}{7}=-\sin\dfrac{\pi}{7}$ であり，$\sin\dfrac{4\pi}{7}=\sin\dfrac{3\pi}{7}$ と $0<\dfrac{\pi}{7}<\dfrac{3\pi}{7}<\dfrac{\pi}{2}$ より $\sin\dfrac{4\pi}{7}>\sin\dfrac{\pi}{7}$） よって $\alpha=\dfrac{-1+\sqrt{7}i}{2}$