1の累乗根の性質と式の値（A）

(1) ド・モアブルの定理より $\omega^5=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$．よって \[ 0=\omega^5-1=(\omega-1)(\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1) \] $\omega\neq 1$ であるから $\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1=0$ \hfill 終 (2) $\omega^k$（$k=0,1,2,3,4$）は $x^5=1$ の異なる 5 つの解であるから \[ x^5-1=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4) \] 両辺を $x-1$ で割ると $x^4+x^3+x^2+x+1=(x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4)$．$x=1$ を代入して \[ (1-\omega)(1-\omega^2)(1-\omega^3)(1-\omega^4)=5 \] (3) $\omega\neq 0$ であるから，(1) の式の両辺を $\omega^2$ で割ると \[ \omega^2+\omega+1+\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}=0 \quad\text{すなわち}\quad \left(\omega+\frac{1}{\omega}\right)^2+\left(\omega+\frac{1}{\omega}\right)-1=0 \] よって $t^2+t-1=0$．ここで，$|\omega|=1$ より $\dfrac{1}{\omega}=\overline{\omega}$ であるから $t=\omega+\overline{\omega}=2\cos\dfrac{2\pi}{5}$ であり，$0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$ より $t>0$ であるから $t=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ したがって $\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{t}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$