zⁿ=1 の解と正多角形（B）

(1) $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0$，$0\leqq\theta<2\pi$）とすると，ド・モアブルの定理より \[ r^8(\cos 8\theta+i\sin 8\theta)=\cos 0+i\sin 0 \] 両辺の絶対値と偏角を比較すると $r^8=1$，$8\theta=2k\pi$（$k$ は整数） $r>0$ より $r=1$，$0\leqq\theta<2\pi$ より $\theta=\dfrac{k\pi}{4}$（$k=0,1,\cdots,7$） よって \[ z=\pm 1,\quad \pm i,\quad \frac{1+i}{\sqrt{2}},\quad \frac{-1+i}{\sqrt{2}},\quad \frac{-1-i}{\sqrt{2}},\quad \frac{1-i}{\sqrt{2}} \] (2) $z$ が解ならば $(-z)^8=z^8=1$ より $-z$ も解である．8 個の解は $z$ と $-z$ の 4 組に分かれるから，和は $0$ （$z^8-1=0$ の解と係数の関係から，$z^7$ の係数が $0$ であることからもわかる．）