極形式に直して累乗の値を求める（B）

(1) $1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$，$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ であるから \[ w=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right) \] (2) $w^{12}=(\sqrt{2})^{12}(\cos\pi+i\sin\pi)=-64$ (3) $w^n=(\sqrt{2})^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{12}+i\sin\dfrac{n\pi}{12}\right)$ が純虚数となるのは $\cos\dfrac{n\pi}{12}=0$ のとき（このとき $\sin\dfrac{n\pi}{12}=\pm 1\neq 0$ である），すなわち $\dfrac{n\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$（$k$ は整数）のときである．$n=6+12k$ であるから，最小の正の整数は $n=6$