極形式に直して累乗の値を求める（A）

$z\neq 0$ であるから，両辺に $z$ を掛けて $z^2-\sqrt{3}z+1=0$．よって \[ z=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}=\cos\left(\pm\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{6}\right)\quad(\text{複号同順}) \] どちらの場合も，ド・モアブルの定理より \[ z^n+\frac{1}{z^n}=\left(\cos\frac{n\pi}{6}\pm i\sin\frac{n\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{n\pi}{6}\mp i\sin\frac{n\pi}{6}\right)=2\cos\frac{n\pi}{6} \] (1) $2\cos 2\pi=2$ (2) $2\cos\dfrac{5}{3}\pi=1$