ド・モアブルの定理で累乗を計算する（B）

(1) $\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}$ であるから \[ \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{10}=\cos\frac{5}{2}\pi+i\sin\frac{5}{2}\pi=i \] (2) $-1+i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3}{4}\pi+i\sin\dfrac{3}{4}\pi\right)$ であるから \[ (-1+i)^5=(\sqrt{2})^5\left(\cos\frac{15}{4}\pi+i\sin\frac{15}{4}\pi\right)=4\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=4-4i \] (3) $\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ であるから \[ \left(\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^{-4}=\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]