頂点のまわりの回転で正三角形・正方形の頂点を求める（A）

点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ を表す複素数をそれぞれ $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とする． $\triangle\mathrm{ABC}$ が正三角形となるのは，$\mathrm{AC}=\mathrm{AB}$ かつ $\angle\mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$ のときであるから，点 $\mathrm{C}$ は，点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心として $\dfrac{\pi}{3}$ または $-\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転した点である．$\beta-\alpha=2+i$ であるから $+\dfrac{\pi}{3}$ 回転のとき \[ (2+i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)i \] これに $\alpha=1+i$ を加えて $\gamma=\left(2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}\right)i$ $-\dfrac{\pi}{3}$ 回転のとき \[ (2+i)\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)i \] これに $\alpha=1+i$ を加えて $\gamma=\left(2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}\right)i$