極形式の積と加法定理（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 極形式の積と加法定理（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$z=\cos\theta+i\sin\theta$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $z^2$ を 2 通りに表すことにより，2 倍角の公式を導け．
\item[(2)] $z^3$ を 2 通りに表すことにより，$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$，$\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ を導け．
\end{enumerate}
極形式の積の性質から，$z^n$ は絶対値 $1$，偏角 $n\theta$ の複素数で $z^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ である（$n=2,3$）．$c=\cos\theta$，$s=\sin\theta$ とおく．
(1) $z^2=(c+is)^2=(c^2-s^2)+2csi$．$z^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$ と比較して
\[ \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta,\qquad \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta \]
(2) $z^3=(c+is)^3=c^3+3c^2(is)+3c(is)^2+(is)^3=(c^3-3cs^2)+(3c^2s-s^3)i$
$z^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$ と比較して
\[ \cos 3\theta=c^3-3c(1-c^2)=4\cos^3\theta-3\cos\theta \]
\[ \sin 3\theta=3(1-s^2)s-s^3=3\sin\theta-4\sin^3\theta \]
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