極形式の積と加法定理（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 極形式の積と加法定理（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 つの複素数 $z_1=\cos\alpha+i\sin\alpha$，$z_2=\cos\beta+i\sin\beta$ の積 $z_1z_2$ を，展開する方法と極形式の積の性質を用いる方法の 2 通りで表すことにより，三角関数の加法定理
\[ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\qquad \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \]
が成り立つことを確かめよ．ただし，極形式で表された複素数の積の性質「絶対値は積，偏角は和」は用いてよいものとする．
展開すると
\[ z_1z_2=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) \]
一方，$|z_1|=|z_2|=1$ で，偏角はそれぞれ $\alpha$，$\beta$ であるから，$z_1z_2$ は絶対値 $1$，偏角 $\alpha+\beta$ の複素数で
\[ z_1z_2=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) \]
2 つの表し方の実部と虚部をそれぞれ比較すると，加法定理が得られる． \hfill 終
（$z_1z_2$ は，点 $z_2$ を原点を中心に $\alpha$ だけ回転した点であることが「偏角は和」の図形的な意味である．）
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます