2通りの表し方から cos(π/12) などを求める（B）

$\dfrac{\beta}{\alpha}$ を $a+bi$ の形で表すと \[ \frac{\sqrt{3}+i}{1+i}=\frac{(\sqrt{3}+i)(1-i)}{2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}i+i+1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}i \] 一方，極形式を用いると \[ \frac{\beta}{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{2}}\left\{\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)\right\}=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{12}-i\sin\frac{\pi}{12}\right) \] 実部・虚部を比較して \[ \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2},\qquad -\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{12}=\frac{1-\sqrt{3}}{2} \] よって \[ \cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\qquad \sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \]