2通りの表し方から cos(π/12) などを求める（A）

(1) $\alpha\beta=(1+i)(\sqrt{3}+i)=\sqrt{3}+i+\sqrt{3}i-1=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i$ $\alpha=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$，$\beta=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ であるから \[ \alpha\beta=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{5}{12}\pi+i\sin\frac{5}{12}\pi\right) \] (2) (1) の 2 つの表し方の実部・虚部を比較して \[ 2\sqrt{2}\cos\frac{5}{12}\pi=\sqrt{3}-1,\qquad 2\sqrt{2}\sin\frac{5}{12}\pi=\sqrt{3}+1 \] よって \[ \cos\frac{5}{12}\pi=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\qquad \sin\frac{5}{12}\pi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]