2平面の交線と，交線を含む平面（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 2平面の交線と，交線を含む平面（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
2 平面 $\alpha:2x-y+z=3$，$\beta:x+y-z=0$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\alpha$ と $\beta$ のなす角を求めよ．
\item[(2)] $\alpha$ と $\beta$ の交線の方程式を，媒介変数 $t$ を用いて表せ．
\item[(3)] $\alpha$ と $\beta$ の交線を含み，点 $(0,\,0,\,1)$ を通る平面の方程式を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 法線ベクトル $(2,\,-1,\,1)$，$(1,\,1,\,-1)$ の内積は $2-1-1=0$ であるから，なす角は $90^\circ$
(2) 2 式を辺々加えると $3x=3$ で $x=1$．$\beta$ から $y-z=-1$．$z=t$ とおくと，交線は
\[ x=1,\quad y=t-1,\quad z=t \]
(3) 交線を含む平面を $(2x-y+z-3)+k(x+y-z)=0$ とおく（$\beta$ は点 $(0,\,0,\,1)$ を通らないから，この形で表せる）．点 $(0,\,0,\,1)$ を代入して
\[ (1-3)+k(-1)=0 \quad\text{より}\quad k=-2 \]
よって $(2x-y+z-3)-2(x+y-z)=0$，すなわち $y-z+1=0$
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